Чему равна сумма противолежащих углов в четырехугольнике

Сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника всегда равна 180 градусам. Это важное свойство вытекает из теоремы о вписанных углах и широко применяется в геометрических задачах.

Формулировка теоремы

Во всяком вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов составляет 180°. Математически это можно выразить как: ∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 180°.

Доказательство теоремы

1. Рассмотрим вписанный четырехугольник ABCD с вершинами на окружности
2. Проведем диагонали AC и BD
3. Угол ABC опирается на дугу ADC
4. Угол ADC опирается на дугу ABC
5. Сумма этих дуг составляет полную окружность (360°)
6. Следовательно, сумма углов ABC и ADC равна половине 360°, то есть 180°

Геометрическая иллюстрация

Практическое применение

• Определение возможности вписать четырехугольник в окружность
• Решение задач на нахождение неизвестных углов
• Доказательство свойств вписанных четырехугольников
• Построение геометрических фигур

Примеры решения задач

Пример 1: Нахождение неизвестного угла

В вписанном четырехугольнике ABCD известны углы: ∠A = 75°, ∠B = 105°. Найти ∠C и ∠D.

Решение: ∠C = 180° - ∠A = 105°; ∠D = 180° - ∠B = 75°

Пример 2: Проверка на вписанность

Можно ли вписать в окружность четырехугольник с углами 80°, 95°, 100° и 85°?

Решение: 80° + 100° = 180°; 95° + 85° = 180° ⇒ можно вписать

Обратная теорема

Если в выпуклом четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 180°, то около него можно описать окружность. Это важный признак вписанного четырехугольника.

Особые случаи

Заключение

Свойство суммы противолежащих углов вписанного четырехугольника является мощным инструментом в геометрии. Оно позволяет решать широкий класс задач и доказывать важные геометрические теоремы. Запомните, что если четырехугольник вписан в окружность, суммы его противолежащих углов всегда равны 180 градусам.