Сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника всегда равна 180 градусам. Это важное свойство вытекает из теоремы о вписанных углах и широко применяется в геометрических задачах.

Содержание

Сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника всегда равна 180 градусам. Это важное свойство вытекает из теоремы о вписанных углах и широко применяется в геометрических задачах.

Формулировка теоремы

Во всяком вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов составляет 180°. Математически это можно выразить как: ∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 180°.

Доказательство теоремы

  1. Рассмотрим вписанный четырехугольник ABCD с вершинами на окружности
  2. Проведем диагонали AC и BD
  3. Угол ABC опирается на дугу ADC
  4. Угол ADC опирается на дугу ABC
  5. Сумма этих дуг составляет полную окружность (360°)
  6. Следовательно, сумма углов ABC и ADC равна половине 360°, то есть 180°

Геометрическая иллюстрация

УглыСуммаГрафическое представление
∠A + ∠C180°Опираются на дополняющие дуги
∠B + ∠D180°Опираются на дополняющие дуги

Практическое применение

  • Определение возможности вписать четырехугольник в окружность
  • Решение задач на нахождение неизвестных углов
  • Доказательство свойств вписанных четырехугольников
  • Построение геометрических фигур

Примеры решения задач

Пример 1: Нахождение неизвестного угла

В вписанном четырехугольнике ABCD известны углы: ∠A = 75°, ∠B = 105°. Найти ∠C и ∠D.

Решение: ∠C = 180° - ∠A = 105°; ∠D = 180° - ∠B = 75°

Пример 2: Проверка на вписанность

Можно ли вписать в окружность четырехугольник с углами 80°, 95°, 100° и 85°?

Решение: 80° + 100° = 180°; 95° + 85° = 180° ⇒ можно вписать

Обратная теорема

Если в выпуклом четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 180°, то около него можно описать окружность. Это важный признак вписанного четырехугольника.

Особые случаи

ЧетырехугольникСвойство углов
ПрямоугольникВсе углы по 90°, суммы пар 180°
Равнобедренная трапецияСуммы противолежащих углов по 180°
КвадратЧастный случай прямоугольника

Заключение

Свойство суммы противолежащих углов вписанного четырехугольника является мощным инструментом в геометрии. Оно позволяет решать широкий класс задач и доказывать важные геометрические теоремы. Запомните, что если четырехугольник вписан в окружность, суммы его противолежащих углов всегда равны 180 градусам.

Другие статьи

Как СДЭК оповещает о доставке посылки и прочее