Чему равно математическое ожидание суммы случайных величин

Математическое ожидание суммы случайных величин является фундаментальным понятием теории вероятностей и имеет важное значение в статистическом анализе и прикладных исследованиях.

Основное свойство математического ожидания суммы

Для любых случайных величин X и Y (как зависимых, так и независимых) выполняется следующее равенство:

• E[X + Y] = E[X] + E[Y]
• где E[·] обозначает математическое ожидание

Обобщение на произвольное число слагаемых

Свойство линейности математического ожидания распространяется на сумму любого конечного числа случайных величин:

1. Для n случайных величин X₁, X₂, ..., Xₙ
2. E[X₁ + X₂ + ... + Xₙ] = E[X₁] + E[X₂] + ... + E[Xₙ]
3. Это верно независимо от зависимости между величинами

Пример вычисления

Важные частные случаи

Для независимых случайных величин

• Хотя математическое ожидание суммы не требует независимости
• Для независимых X и Y: E[XY] = E[X]E[Y]
• Это свойство не распространяется на сумму

Для одинаково распределенных величин

1. Если X₁, X₂, ..., Xₙ имеют одинаковое мат. ожидание μ
2. Тогда E[X₁ + X₂ + ... + Xₙ] = nμ
3. Это основа для оценки средних значений

Доказательство свойства линейности

Для двух дискретных случайных величин X и Y:

• E[X + Y] = ΣΣ (x + y)P(X=x, Y=y)
• = ΣΣ xP(X=x, Y=y) + ΣΣ yP(X=x, Y=y)
• = ΣxP(X=x) + ΣyP(Y=y) = E[X] + E[Y]

Применение в статистике

Это свойство широко используется в: